The first Mishna in Zevachim says that all korbanot that are slaughtered שלא לשמו the korban is kosher except the חטאת ופסח. One brings a chattas as a baal teshuva. It is a new beginning. Similarly, the pesach is offered as the nation was entering a whole new relationship with Hashem. The lesson of the chattas and the pesach is that when one is at the beginning of a new stage, one must be in 100%. One can't start a new stage in life with any aspect of שלא לשמה.
Rashi Ki Sesa (34:3) based upon the Tanchuma says about the second luchos ואיש לא יעלה עמך – הראשונות על ידי שהיו בתשואות וקולות וקהילה שלטה בהן עין רעה. אין לך יפה מן הצניעות. If this is the case, why were the first luchos given with such fanfare? Rav Biderman explains with a משל of making coffee. When you make the coffee, its too hot to drink and you have to wait for it to cool down in order to drink it. So why not just make at a cooler temperature in the first place? Because then the beans won't get cooked properly by the water. So too in order for the luchos, for the Torah to be cooked into the נשמות of Klal Yisroel there had to be much fanfare. It is only the second time around that it could be given privately. To enter into a kabbalas hatorah there must be a big bang, you must be fully into it and only then will that fire be fully settled into the soul.
Rashi Kedoshim (20:26) brings the Chazal רבי אלעזר בן עזריה אומר מנין שלא יאמר אדם נפשי קצה בבשר חזיר, אי אפשי ללבוש כלאים, אבל יאמר אפשי, ומה אעשה ואבי שבשמים גזר עלי, תלמוד לומר ואבדיל אתכם מן העמים להיות לי, שתהא הבדלתכם מהם לשמי, פורש מן העבירה ומקבל עליו עול מלכות שמים. The Maggid says that this applies to a person under regular circumstances. However, one who has slipped up and is doing teshuva for an averah that s/he committed must say אי אפשי בבשר חזיר for the only way to do teshuva is to completely eradicate one's desire for the averah. There can't be any link to one's previous mishaps in order to move forward. I believe this idea goes hand in hand with the previous one. Any connection to the past undermines one's ability to turn over a new leaf 100%.
Rav Hirsch sees this message in that the removal of the דשן. He says that this service in the Mikdash teaches us that when one has a new day, a fresh start, then one must completely throw out the past. In his words " תחילתו של כל יום חדש מזמינה אותנו לגשת לתפקידנו במסירות מלאה ורעננה, כאילו מעולם לא השגנו דבר קודם לכן. אסור שזיכרון הישגי האתמול יפגע בעשייתנו היום. מחשבות על מה שכבר הושג עלולות להחניק כל התעוררות להגיע להישגים חדשים. אוי למי שזחה דעתו מתוך סיפוק על הישגיו בעבר, שאינו מתחיל עבודת כל יום חדש כאילו היה היום הראשון של עבודת חייו! והוציא את הדשן – יש להסיר מן המזבח כל זכר לעבודת יום האתמול, כדי שעבודת היום החדש תוכל להתחיל על יסוד חדש לגמרי."
Many holy works point out that the word חודש comes from the word חדש. Every month the moon renews itself and so too a person has a renewal (that is why there is Yom Kippur katan.) The month of ניסן is ראשון of all the months. All of the months power of חידוש stem from ניסן. It is in ניסן and obviously the high point is Pesach that there is a power of renewal in the air. It is up to a person to use the potential and put in 100% effort to change for the better; to throw away the שאור שבעיסה from the previous day and offer the pesach completely לשמה. (One who does the proper avodah during Pesach and Omer is saved from the din of Rosh Hashana, ואכ"מ.) The trees blossom in Nissan, do you?